Die hinreichende Bedingung ist also, das f'''(x) ungleich 0 ist, nämlich größer oder kleiner. Da die Bedingung f``(x) $ \neq $ 0 nicht erfüllt ist, bezeichnet man den Tiefpunkt auch als Sattelpunkt, da f``(x)=0 ist. Eine hinreichende Bedingung führt zwangsläufig dazu, dass das Ereignis eintritt, aber es könnte auch auf anderem Wege dazu kommen. Beispielsweise wird man nass, wenn man sich in den Regen stellt, man könnte aber auch Duschen, schwimmen gehen usw. Das ist gleichzeitig notwendige Bedingung für einen Extrempunkt bei der 1. Ableitung. Da 6 ? Aus einer notwendigen Bedin-gung für eine Extremstelle muss jedoch nicht zwangsläufig eine Extremstelle folgern. Wendepunkten: cc Aufgabe 2 Wir bestimmen die Wendestellen der Funktion f x =3x5 − 5x4 f ' x =5x3 3x− 4 f '' x =60x2 x − 1 f ''' x =60x 3x − 2 Notwendige Bedingung f '' x W = 0 xW 1 = 0, xW 2 = 1 Hinreichende Bedingung ist für f ''' x x = 0 nicht erfüllt. wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist kann es kein Wendepunkt sein. Wenn nicht, könnte es trotzdem einer sein. W ≠ 0 Mir ist leider nicht bekannt, wie ihr dann fortfahrt das zu untersuchen. Es handelt sich also um einen Wendepunkt. Wir brauchen daher auch die dritte Ableitung namens f´´´(x)= 6. Neben der notwendigen Bedingung gibt es auch eine hinreichende Bedingung, die da lautet: f´´´(x)?0. Formal kann man das so ausdrücken: „wenn A, dann B “ bzw. 4. Du hast also die notwendige Bedingung für ein Extremum ebenfalls erfüllt. Nun ist es aber so, dass nach der hinreichenden Bedingung f''(0) = 0 und f'''(0) ≠ 0 gelten muss. Vergiss nicht, dass f'(x) = 0 auch erfüllt ist. ↑Notwendige und hinreichende Bedingungen 1. „ \(A \Rightarrow B\) “. Ableitung = 0 sein muss. Bei Wendepunkten: f '' (x) = 0. Mathematiker nennen Bedingungen, die auf jeden Fall erfüllt sein müssen, "notwendige Bedingung". Damit ist die Bedingung erfüllt, dass das Ergebnis einer Ableitung größer null ist, und somit ein Tiefpunkt vorliegt. Extrema: Eine notwendige Bedingung f¨ur die Existenz eines Extremums 1 an der Stelle x 0 f¨ur eine auf Rdefinierte Funktion ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d.h. also f′(x 0) = 0. f′(x 0) = 0 ist nicht hinreichend f¨ur die Existenz eines Extremums, es k¨onnte auch ein Sattelpunkt vorliegen. Hinreichend bedeutet: Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist es auf jeden Fall ein Wendepunkt. Diese Bedingung reicht aber nicht aus, um zweifelsfrei zu sagen, das es sich um einen Wendepunkt handelt. 0 ist, ist die Bedingung erfüllt. Denn es kann genausogut ein Sattelpunkt oder Extremwert sein. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, das die 2. Du musst dann nicht weiter prüfen. Das ist jedoch nicht der Fall! Kann man jedoch sicher auf eine Extremstel-le schließen, so redet man von "hinreichen-der Bedingung".